켈리 공식 유도와 켈리 공식의 유도

켈리 공식(Kelly Criterion)은 도박이나 투자에서 수익을 극대화하면서도 파산 가능성을 최소화하는 최적의 베팅 금액을 계산하는 수학적 공식입니다. 이 공식은 정보 이론을 연구하던 존 켈리(John Kelly)에 의해 1956년에 처음 제안되었습니다. 켈리 공식을 사용하면, 베팅이나 투자의 기대수익을 극대화할 수 있으며, 위험을 효과적으로 관리할 수 있습니다.

켈리 공식

켈리 공식은 다음과 같습니다.

$$f^* = \frac{bp - q}{b}$$

$f^*$ : 총자산에서 베팅할 최적의 비율 (Optimal Bet Fraction)
$b$ : 베팅 승리 시의 배당률 (예: 1:1일 경우 $b=1$)
$p$ : 베팅에서 이길 확률 (Win Probability)
$q$ : 베팅에서 질 확률 ($q=1-p$)

이 공식은 주어진 조건 하에서 자산의 장기적인 수익을 최대화하는 최적의 베팅 비율을 나타냅니다.

켈리 공식 유도

문제 정의
- 매번 자산의 일정 비율 $f$를 베팅하는 상황을 가정합니다.
- 이길 확률 $p$, 질 확률 $1-p$, 승리 시 수익 배율이 $b$일 때 최적의 베팅 비율 $f$를 찾는 문제입니다.
기대 자산의 로그 수익률 계산
베팅 결과에 따른 자산 변화는 다음과 같습니다.
- 이길 경우: 자산은 $(1 + fb)$배가 됩니다.
- 질 경우: 자산은 $(1 - f)$배가 됩니다.
$n$번 베팅 후 자산을 최대화하는 것은 자산의 로그 기대값을 최대화하는 것과 같습니다. 로그를 사용하는 이유는 장기적인 성장률을 극대화하기 위함입니다.

$$E[\log(W)] = p \cdot \log(1 + fb) + (1 - p) \cdot \log(1 - f)$$
최대화 과정
위의 로그 기대값을 최대화하기 위해 베팅 비율 $f$에 대해 미분하여 그 값이 0이 되는 지점을 찾습니다.

$$\frac{d}{df} \left( p \cdot \log(1 + fb) + (1 - p) \cdot \log(1 - f) \right) = 0$$

이 방정식을 $f$에 대해 풀면 켈리 공식이 도출됩니다.

$$f^* = \frac{bp - (1 - p)}{b} = \frac{bp - q}{b}$$

따라서 최적의 베팅 비율 $f^*$는 위와 같이 도출되며, 이를 통해 장기적으로 자산을 극대화할 수 있습니다.

켈리 공식의 의미

$f$ 값이 너무 크면 파산 위험이 급격히 높아집니다.
$f$ 값이 너무 작으면 기대 수익을 충분히 실현하지 못합니다.
켈리 공식은 수익률을 최대로 만들면서도 리스크를 효율적으로 관리하는 수학적 전략을 제공합니다.

켈리 공식 계산기

단순히 공식만 보는 것보다 다양한 계산기를 통해 켈리 공식의 중요성을 직접 체감해 볼 수 있습니다. 여러 계산기를 활용하여 자신의 투자 습관을 점검하는 시간을 갖길 바랍니다.

진입 비율에 따른 수익률 계산

진입 비율을 높이면 수익률이 증가하다가 특정 지점을 넘어서면 오히려 손실로 이어집니다. 손익비와 승률을 입력하고, 진입 비율에 따라 수익률이 어떻게 변하는지 확인해 보세요.

진입 비율에 따른 수익률 계산기 →

승률에 따른 수익률 계산

도박과 달리 투자는 승률을 정확히 알기 어렵습니다. 예측 능력이 뛰어나더라도 무리한 베팅은 손실로 이어질 수 있음을 계산기를 통해 확인해 보세요.

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선물 거래 실전용 계산기

켈리 공식에 대한 이해가 충분하다면 진입가, 익절가, 손절가, 예상 승률을 적용하여 최적의 진입 비율을 계산해 볼 수 있습니다. 더 안전한 투자를 위해 '하프 켈리' 전략을 추천합니다.

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